要学习通信，一定绕不开的就是傅里叶级数和傅里叶变换，之前学信号与系统的时候没有好好学，这里看了B站的网课，豁然开朗，所以特地来写一篇学习笔记，来激励自己，也算是检验自己学习成果了。
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Part 1 三角函数的正交性
首先要介绍的就是三角函数系：集合：
\[ \left\{ 1,\sin x.\cos x,sin2x,\cos 2x,......\sin nx,\cos nx \right\} n=0,1,2,3,...... \] 此处为什么没有0呢，因为
\[ \sin \left( 0\cdot x \right) =0 \\ \cos \left( 0\cdot x \right) =0 \]
所以省略了0
三角函数的正交性（就是垂直）：
\[ \int_{-\pi}^{\pi}{\sin \left( nx \right) \cos \left( mx \right) \mathrm{d}x}\left( n\ne m \right)=0 \\ \int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) \cos \left( mx \right) \mathrm{d}x}\left( n\ne m \right)=0 \]
那么该如何证明呢？
证明过程：
因为
\[ \cos \left( nx \right) \cdot \cos \left( mx \right) =\frac{1}{2}\left[ \cos \left( n-m \right) x+\cos \left( n+m \right) x \right] \]
\[ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) \cos \left( mx \right) \mathrm{d}x}\left( n\ne m \right) & =\frac{1}{2}\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( n-m \right) x\mathrm{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( n+m \right) x\mathrm{d}x}} \right] \\ &=\frac{1}{2}\left[ \frac{\sin \left( n-m \right) x}{\left( n-m \right)}\mid_{-\pi}^{\pi}+\frac{\sin \left( n+m \right) x}{\left( n+m \right)}\mid_{-\pi}^{\pi} \right] \\ &=0 \end {aligned} \]
\[ IF\,\,\left( m=n \right) \int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) \cos \left( mx \right) \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{1\mathrm{d}x+}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( 2nx \right) \mathrm{d}x} \right] =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{1\mathrm{d}x=\pi} \] 上式 \[ \cos \left( 2nx \right) =\cos \left( 0\cdot x \right) \cdot \cos \left( 2nx \right) =0 \]
则最后只剩前一项
证明完毕
Part 2 周期为"2π"的函数展开为傅里叶级数
\[ T=2\pi \,\, ~~~~~~~~~f\left( x \right) =f\left( x+2\pi \right) \]
这是傅里叶级数展开的一种写法
\[ f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \]
但我们可以看到，大部分书中都是这么写的
\[ f\left( x \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \]
看到了两式的a0不一样，为什么呢？
1.开始计算a0
首先式子两边进行积分
\[ f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \]
得到
\[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x=}\int_{-\pi}^{\pi}{a_0\mathrm{d}x}+\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx \right)}\mathrm{d}x}+\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( b_n\sin nx \right)}\mathrm{d}x} \]
我们可以将an和bn提出到积分符号前，得到
\[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x=}\int_{-\pi}^{\pi}{a_0\mathrm{d}x}+a_n\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \cos nx \right)}\mathrm{d}x}+b_n\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \sin nx \right)}\mathrm{d}x} \]
接下来，我们可以将cosnx和sinnx视作1cosnx和1sinnx，利用三角函数的正交性将这两项化为0
我们可以得到
\[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x=}a_0\int_{-\pi}^{\pi}{1\mathrm{d}x=2\pi a_0} \]
最后，我们将a0可以解出，
\[ a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x} \]
与前式对照
\[ f\left( x \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \] 为什么那里的a0有1/2呢，其实就是为了看着方便，将a0变为 \[ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x} \]
现在就感觉有点蒙蔽了，你这个a0带入到式子中是除以2了，那a0的原本的值就变化了，这里要强调一点，我们之前算出来的a0，一直都是 \[ a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \mathrm{d}x} \] 这里只是为了看起来方便，就加上了1/2，所以，一句话总结
此a0非彼a0
2.计算an
- 先两边同乘cosmx
- 两边再进行积分
可以得到如下式子 \[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx\mathrm{d}x=}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{a_0}{2}\cos mx\mathrm{d}x}+\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx\cos mx \right)}\mathrm{d}x}+\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( b_n\sin nx\cos mx \right)}\mathrm{d}x} \]
同理，根据三角函数的正交性，我们可以得到 \[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx\mathrm{d}x=}\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx\cos mx \right)}\mathrm{d}x} \]
当m=n时，整个式子就变成了 \[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx\mathrm{d}x=}\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos ^2nx \right)}\mathrm{d}x} \]
根据三角函数呀的正交性，可以将式子化为 \[ \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx\mathrm{d}x=}a_n\pi \]
所以，计算出an \[ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx\mathrm{d}x} \]
