前言

最近还是在复习通信原理，但是对于频谱/频谱密度/能量谱/能量谱密度/功率谱/功率谱密度还是一知半解的，所以我就去各种看资料，看视频，又去问了问老师。 所以我在这里写下自己对这两个概念的一些分析和理解，不敢说100%正确，仅供大家参考。

频谱

频谱的定义

我感觉最通俗的解释就是信号的某种特征量随信号频率的关系，称为频谱

符号定义

接下来文中出现的符号定义

周期信号

周期信号的傅立叶级数具有幅频特性和相频特性

单边谱

这里是傅立叶级数的普通形式

\[ \begin{Bmatrix}A_{n}(幅度) \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位) \sim \omega \end{Bmatrix} \]

\[ A_n=\sqrt[]{a^2_n+b^2_n}~~~ n=1,2,3... \]

双边谱

这里是傅立叶级数的复数形式

\[ \begin{Bmatrix} \left | F_{n}(幅度)\right | \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位)\sim \omega \end{Bmatrix} \]

\[ \left | F_{n}\right |=\frac{A_n}{2}~~~n=0,\pm 1,\pm 2,... \]

例子：周期矩形波信号

我拿GeoGebra画了一个很粗略的表示，这个其实是周期性的，就是他其实是无限个矩形波函数，大家应该都懂我意思🤪

\[ 矩形波信号：幅度为1 宽度为\tau 周期为T \]

我们求其频谱也就是求傅立叶级数的系数Fn

求其傅立叶级数的Fn

\[ \begin{aligned} Fn&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t)e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} e^{-jn\Omega t}|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} [e^{-jn\Omega \frac{T}{2} }-e^{-jn\Omega (-\frac{T}{2}) }] \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega}[-2jsin(n\Omega\frac{\tau }{2} )] \\ &=\frac{2}{T}\frac{sin(\frac{n\Omega\tau}{2} )}{\frac{n\Omega\tau}{2}} ·\frac{\tau}{2} \\ &=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega\tau}{2}) (n=0,\pm 1,\pm 2...) \end{aligned} \]

\[ 我们已知抽样函数Sa(x)函数=\frac{sinx}{x} \\\tau是信号宽度,T是信号周期 \]

画出其频谱图

先画出Sa函数，注意坐标轴，我这里为了方便显示，取了几个具体的数值，实际上要根据题中的条件计算。

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close all
clc

% 定义时间轴t和信号x
t = -16:0.01:16;
x = (0.25)*sinc(t / pi);

% 绘制原始信号
plot(t, x, '--','LineWidth', 3);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
title('Sa(t)');
grid on;
hold on;

% 进行1/4倍采样
x_downsampled = downsample(x, 80);

% 计算新的时间轴
t_downsampled = t(1:80:end);

% 绘制降采样后的信号
stem(t_downsampled, x_downsampled, 'LineWidth', 3);
xlabel('w');
ylabel('Fn');
title('频谱图');
legend('频谱信号', '谱线');
grid on;

\[ 我们设T=4\tau~~ Fn=\frac{1}{4}Sa(\frac{n\Omega\tau }{2} ) \\则零点\frac{n\Omega\tau }{2}=\pi m\Rightarrow n\Omega =\frac{2m\pi}{\tau} \]

两个零点之间有4条谱线，这些谱线的位置和数量取决于信号的采样率和矩形波函数的宽度。 \[ 两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为\Omega \\ \frac{\omega }{\Omega}=\frac{\frac{2\pi }{\tau } }{\frac{2\pi }{T} } =4 \\ 最高点是0.25 \]

\[ \Omega=\frac{2\pi }{T}=2\pi f \]

因为周期门函数在时域是周期连续的，所以他在频谱上就是非周期离散的。

对应关系

举个例子：

• 矩形波函数在时域是连续周期的，那么他在频谱上就是非周期离散的。
• 门函数做傅立叶变换后就是Sa函数，如果把它在时域上周期化，那他的频谱就被离散化了，也就是变成了上图的样子，包络是一个Sa函数，但是谱线是离散的。

特点

1. 周期信号频谱是离散谱（谐波性）。
2. 谱线所处的位置是基频Ω的整数倍。
3. 一般具有收敛性，总趋势减小。

T不变，改变τ，观察三个脉冲时间不同的矩形波信号

\[ 函数g_\tau (t)=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{n\pi \tau }{T} ) \]

结论

观察这些图，我们可以得到结论：

\[ 若T不变\tau 减小\left\{\begin{matrix}1.最大点\frac{\tau}{T} \downarrow \\2.谱线间隔不变 \\2.零点向右移动，零点横坐标变大了 \\4. 谱线数目\frac{T}{\tau} \end{matrix}\right. \]

\[ 当\tau\longrightarrow 0,图像会变成一条直线，也就是我们说的冲激函数\delta (t) \]

τ不变，改变T，观察四个周期不同的矩形波信号

\[ 若\tau 不变，T增加\left\{\begin{matrix}最大值\frac{\tau }{T}\downarrow \\谱线间隔\Omega=\frac{2\pi}{T} \downarrow,当T\rightarrow \infty ，\Omega\rightarrow 0 \\零点\frac{2m\pi}{\tau },\tau 不变,0点不变 \\谱线数\frac{T}{\tau }\uparrow ,谱线数\rightarrow \infty \end{matrix}\right. \]

结论

我们重点看一下最后一个图，当T趋于∞，周期信号的周期无穷大，那么他就变成了非周期信号，频域变成了连续函数。 我们知道：

\[ n\Omega=\frac{2\pi}{T}n , T\rightarrow \infty ,n\Omega\rightarrow 0 \]

上面的公式是什么意思呢，就是频域的离散函数变成了连续函数，因为每一个谱线的间隔的无限小。

\[ 在数学上，当\Omega\rightarrow 0时,我们称其为\omega \]

其实最后一个图像我们就从傅立叶级数得到了傅立叶变换——计算非周期信号的频谱。关于其数学公式的推导，我也写了一篇博客但是因为公式实在太多，只推导了一部分，后期我会把坑填上的。

频谱密度

这个概念可折磨我太久了，主要是网上好多说的感觉不太准确，也没有合适的视频讲解，只能靠着我自己搜集资料来做一个浅浅的解释。

我去问老师的时候，他先举了一个例子：

假如这有一本书，书上画满了点，那么书上的点就是无限的，随便在书上找一页，每个点上面“占有了”这个书多少呢。 答案是0，点是无限的，所以平均到每个点上面，占有的书就是0。

在Wikipedia中，对于密度的定义是这样的：

密度是指一物质单位体积下的质量

我们常说的密度是连续的，所以那频谱密度也是连续的，这里我给个频谱密度一个定义，是指信号单位频率下的能量。

频谱密度函数\(F\left( \omega \right)\)公式

\[ F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w} \] 在这里\(F_n\)(指数型傅里叶级数的系数)是趋于无穷小的，\(T\)是趋于无穷大的，所以这两者相乘是一个常数。

但是话又说回来，为什么频谱密度要叫频谱密度呢，他和普通的频谱到底有什么区别？

想象有一块石头，他的质量是m，他的体积是v，根据密度公式，我们很容易算出他的密度是多少，那加入我们取石头上非常非常小的一块，它的质量趋于0，它的体积也趋于0，那么怎么用物理量来表示呢，这时就要引出密度的概念了，无穷小的质量/无穷小的体积得到的常数，就是这一小块的密度了。

所以频谱密度也是一样的道理，\(F\left( j\omega \right) = \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{\omega}\)。因为各个频率分量的幅度是无穷小的，给他除一个很小的频带宽度\(\omega\)就能得到一个常数。

傅里叶正变换公式

由上文的公式 \[ F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w} \] 以及 \[ F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt} \] 将\(F_n\)代入\(F\left( j\omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T\)得

\[ F\left( \omega \right) =\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt} \] 因为傅里叶变换的情况是\(T\)趋于无穷，\(\omega\)趋于0，\(n\omega\)变成连续的了，所以傅里叶正变换公式就是

\[ F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt} \] # 傅里叶逆变换公式 先看傅里叶级数的指数形式 \[ f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_ne^{jn\omega t}} \] 为了凑出\(F(\omega)\)，我们要这样处理 \[ f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_nTe^{jn\omega t}\cdot \frac{1}{T}} \] 我们令\(T\rightarrow \infty\)，则\(\omega \rightarrow 0\)，取其为\(d\omega\)，我们就可以将上式的\(\frac{1}{T}\)改为\(\frac{2\pi}{T}\cdot \frac{1}{2\pi}\)，\(\omega\)趋于0，\(n\omega\)变成连续的了，求和符号应变为积分符号，所以\(f(t)\)最后为

\[ f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega )}e^{j\omega t}d\omega \] 这就是傅里叶逆变换。

我们在上面已经说了，连续的频谱基频Ω趋于0，对照着下面这图像

我们可以知道，连续频谱在时域上是非周期的。所以，当我们谈论谱密度时，就已经是默认这个信号在时域上是非周期的，频谱是连续的了。

这里我们需要引入能量信号，他的能量是有限的，所以他一定是一个非周期函数，所以严格地说，他不能用傅立叶级数去计算他的频谱，他只能用傅立叶变换去计算他的频谱密度。

关于周期信号的频谱密度，我参考了这一篇文章：频谱和频谱密度在概念和适用方向上有哪些区分？ - 張無忌的回答 - 知乎

周期功率信号 的功率只集中分布在基频的倍频上，因而，功率在频域是离散分布的，如果严格地套用谱密度的意义，其谱密度应该是一连串冲击函数，这类包含无穷的特殊函数对应用而言是没有意义的。有时为了与非周期信号统一表示，会将集中分布的功率近似平均到相邻倍频的区间内，形式上也就变成频谱密度，但应当了解，这是近似的，并不是周期信号原始的属性。

举个例子，在这幅图中，我们可以将集中分布的功率近似分布到相邻的倍频区间内，他也就变成连续的了。

非周期功率信号 对应的直接就是频谱密度。

还有需要了解的是，对能量信号和功率信号的分析中，虽然有时两者的分析中都称谱密度，但能量信号的谱密度是 能量的谱密度 ，而功率信号的谱密度指的是 功率的谱密度 ，二者在计算上有区别的，相差了一个时间平均，不应混淆。

总结

我们一般在分析信号的时候，要先确定其信号类型，如果是非功率非能量信号，则要用广义函数和分布对其进行分析，但是话说回来，我看了这么多还真没遇到过这样的，如果我以后遇到了再来填坑。确定其信号类型之后，我们要根据其类型再去分析：如果是能量信号，看看是周期信号还是非周期信号(通常是非周期信号)，再对其进行傅立叶变换，假如是功率信号，判断其是周期信号还是非周期信号，要注意只有周期功率信号才有频谱(因为可以做傅立叶级数)，非周期功率信号和能量信号是没有频谱的，只有频谱密度(只能做傅立叶变换)。或者说周期性的功率信号频域是离散的，其他信号频域是连续的。